【数学】ABC予想「証明に疑問点」指摘も　～出版後も割れる評価～

>>3
理解できないというか、理解しようとしたら自分の数学人生を全て掛けてやることになる。
そこまでのリスクを負ってやる人間は殆どいないから理解できないだけ。

1人でどんどん進んでって正しければ数百年後に誰かが発掘して日の目を見るはず。

>>13
リーマン予想で説明すると

凄い計算式を見つけました
この計算式で導かれる数には私が計算できる範囲の素数は全て含まれています
しかし、無限に至る範囲の全ての素数が含まれているかは分かりません
この計算式には全ての素数が含まれているか、それとも含まれない素数があるか
誰か証明してくれませんか？

こんな感じ

>>13
>予想を証明するってどういうことなんだろ
予想が証明されれば定理になる
証明されていないから”予想”
予想というのは、多分そうだよねっていう意味。否定例が見つかれば予想でなくなる。

よくあるのに、より難しい予想の証明に別の予想が使われたりする
最近の例だとフェルマーの最終定理の証明に”谷山?志村予想”が使われてた。
証明者のワイルズは谷山?志村予想を証明することによって、フェルマーの最終定理を解決した

>>21
>数学者なら間違ってる事を理論で証明すれば良いだけでしょ。
>文系じゃあるまいし

「間違ってる」というより「肝心な説明がなされていない」という批判。
「間違ってる」云々以前に「価値がない」という批判。

>>25
宇宙際タイヒミュラー理論とはこの世界とは全く
違う理論原則物理法則の宇宙を想定して、そこでこっちでは偽とされてる
理論が正とされてる宇宙を想定して、そっちの宇宙とこっちの宇宙では
何が差か？を検証する事で理論の正当性を導きだす

もしもボックスでもしもお金の無い世界に行ったら
強盗がお金をよこすという謎世界だったが、その謎世界はなぜ
それで経済が成り立っているのか？という理論を構築していき
それとこっちの世界のお金がいる世界との差は何か？を調べる事で
お金がいる世界の意味を解明するような感じ

>>69

論理自体が異なる宇宙の差の検証すること自体の意味や、それによって得た情報で、ある宇宙で正としたものが別の宇宙でも正と言え得るのか、など、使用している論理そのものに矛盾がないのか、そこから導き出されることが無矛盾なのかの検証が終っていないので、IUTに意味があるのか疑われていると思う。
現状では、IUTに意味があるようには思えないし、それが大多数の意見だろう。

>>76
お互いにボールはそっちにあると言い張ってたような。

理論が正しいのか門外漢は理解できないし、理解するだけの能力のある人間が今のところやる気無いので真相は闇の中。

>>177
>事実としては望月側が反論したのを最後に返答がない

反論になってなかったろ

>>177
ショルツは回答になってないと望月にちゃんとした回答を出せとボールは望月にあると思ってる。

望月は回答したんだからちゃんと読めとボールはショルツにあると思ってる。

>>202
>「証明が正しいことの証明」は決定不可能問題

ねーよ

>>36
>ショルツが間違ってること証明すりゃいいんだよ。
>飛躍があるとかそればっか。
>どういう魂胆なのかと思う。

「ABC予想は正しい」という主張の一文は
間違ってはいないがなぜ正しいかの理由が書いてない(飛躍)、という話。
もし飛躍してもいいなら「正しい」の一文で証明は完了する(反例が存在しない限り)。

だから「飛躍がある」という批判はちゃんと批判になってる。

>>59

論理に謝りが１つでもあれば、どんなことも証明できてしまうので、ITU自体が論理に矛盾が発生していないか、無矛盾なのかの検証が終えていないと、ITUで何を証明しても無視されるだけに終わる。

宇宙際タイヒミュラー理論（うちゅうさいタイヒミュラーりろん、Inter-Universal Teichmüller Theory, IUT）

>>63
主体が分かりにくいけど
wikipedia読むと
（シュルツェ教授からの）回答が無い、ということですか

>>184
ポアンカレ予想を見るに数学に合わせて物理学やら熱力学を入れてるので
まず数学者じゃ分からない数式がでてやっと定理が成り立つ世界だから
簡素化は無理だろう

1+1＝2をもっと簡素にってくらい意味がない

>>201
正しくてもそれが正しいと思われなければ正しいと認められないし、誰かが使えると思って使われないと忘れ去られる。
何百年も前に出来たものが発掘されて使われるなんてこともあるし。

今の若い世代が学ぶとしたら、今ブームになってるか、これからブームになると言われてて、こう言うことに使える！て言われた場合だろうね。
ものになるかわからんものに突撃するチャレンジャーは一握りだろう。

>>201
>その応用も含めて正しければすごいことだし

正しいかどうかは重要じゃない
たとえば初等幾何の新しい定理なんて毎日世界のどこかで生まれてるし
それらは勿論「正しい」。でも数学的に無価値

>>215さん？　別の人？
単に「多くの人に指摘されてる」って言ってたから聞いてみたかっただけなんだが…

「自明なことばかり延々やってて肝心なところは全然何も書いてない」は
単に理解できないよりよほど強い主張でしょ
コンラッドさんね、ありがと
調べてみる

>>226
>単に「多くの人に指摘されてる」って言ってたから聞いてみたかっただけなんだが…

①何を持ってどの程度を「多く」かはまちまちなので何なら「多く」は削除してもいいよ。
②一応「多く」の実例も念の為具体的に挙げたはずだけど何かまだ不足？
もう一度説明すればコンラッドがその実例の一人だ、という以上に
コンラッド自身が「多く」と言っていたよ、と私は言ってる。
つまり、コンラッドによれば、セミナーに参加した人(コンラッド自身も含む)
がほぼそういう同様の不満を漏らしていた、と報告している

まさに>>219の人が言ってるように「大半の人が肯定的でない」という現状

あなたの質問自体についてまともに「誰が？」に答えるなら
①については数学会のほぼ全員。だって「ナイ」から。
②についてはセミナーに参加した人ほぼ全員。特にコンラッドがそう伝えている

>>221
>疑問に思うなら数学的に反論すればいい

×疑問に思うなら
○説明が省略されていると思うなら
価値がないと思うなら

相手の主張をあなたは微妙に歪めてる

>>221

相対性理論は証明じゃないから。
相対性理論は仮説なんだから、理解してもらう必要はない。
証明は理解されないと意味がないんだよ。
証明というのは、ある理論の正しさを論理的に納得させることなんだから。

>>234

それは物理的な考え。

数学の場合は、式自体の意味を問う。式自体に使われている論理が正しいか、どうか。
特に矛盾がないか、無矛盾なのか。それがはっきりしない論理であれば、無視されて当然。
今数学の証明で使われている論理は、無矛盾であることか、矛盾がないことが証明されているもの。
新論理を展開するのであれば、無矛盾性、矛盾がないことははっきりさせないといけない。

>>236
＞今数学の証明で使われている論理は、無矛盾であることか、矛盾がないことが証明されているもの。

マジかよ自然数論使えないじゃん

>>240

数学そのものは、論理の無矛盾を追及する学問であるとも言える。それはヒルベルト等、誰しもが意識していたと思う。
自然数論も当然、その無矛盾を証明しようとしている。例えば、数学 的帰納法を含む 自然数の理論が矛盾を含 まない と
い うことの証 明は,ゲ ンツェンによる次の論文においてはじめて与 えられている。
G. Gentzen, Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. Math. Ann. 112 (1936).
>>240が言う無矛盾性は、ゲ ンツェンの言うところのものではない、ということかも知れないが。

>>244

良くは知らないが、多分ないと思う。でも、探してみる価値はあるのでは。

>>246

言っている意味が分からないが、一般に自然数を定義する時に使われるペアノの公理では、数学的帰納法を使用しているので、（間違っているかも知れないが）ペアノの公理で作られる自然数には矛盾がないことがゲ ンツェンによって示されていると思うのだが。
当然、集合論の標準的な構成から、ペアノの公理を満たす自然数が存在することが分かる。
集合論自身も、素朴的な集合論では矛盾を抱えているので、公理的な集合論で矛盾を回避しなくてはいけない。

ただ、>>246が何が言いたいのか、良く分からん。

>>251

そうではなくて、カントールの言う素朴的な集合論には矛盾が存在するので（だから、クロネッカーたちが反対した）、公理的な集合論から構築しないといけない。

>>243
>自然数論も当然、その無矛盾を証明しようとしている。例えば、数学 的帰納法を含む 自然数の理論が矛盾を含 まない と
>い うことの証 明は,ゲ ンツェンによる次の論文においてはじめて与 えられている。

wikiより

自然数論の無矛盾性については、1934年にゲルハルト・ゲンツェンによって、証明の正規化（カット除去定理）を
用いることによって示されたとされた。しかしこの方法では、証明の正規化手続きの終了性がε0までの超限帰
納法によってなされている。

超限数出てくるんじゃあ、循環論法にすらなってねーwww

>>258

超限帰納法については、任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば、超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる、とある。

＞　超限数出てくるんじゃあ、循環論法にすらなってねーwww

何を言っているのか分からん。どういう意味だろうか？

>>260
>超限帰納法については、任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば、超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる、とある。

お前そこの意味わかってないだろ、主張できるわけないじゃん

>>288

選択公理を認めているからだろ。
選択公理を認めるので、任意の密度を持つ集合で、整列可能定理により整列順序が定められる。
整列順序より超限帰納法を行える。

何が問題なんだ。いちいち、いちゃもん付けないで説明しろよ。
お前は、ゲ ンツェンの証明は間違っていると言っているんだぞ。証明のどこに間違いがあるか、説明しろよ。

>>292
超限数が出てる時点で有限の立場でもなんでもねーよ

ついでに、自然数論の無矛盾性の証明をメタ公理系の無矛盾性に頼ってるから、循環論法だっての

>>294

別にゲ ンツェンは、ヒルベルトの有限の立場にこだわっていないだろ。
大体、ゲンツェンは、ゲーデルの不完全性定理の後に、自然数論の無矛盾性を証明している。

＞「メタ公理系の無矛盾性に頼ってる」
ちゃんと説明しろよ。

>>294

1931年ゲーデルは不完全性定理を証明し，ヒルベルトが当初考えていた `有限の立場' の範囲内で無矛盾性の証明をおこなうことはできないことを明らかにした．他方，ゲンツェンは1936年にヒルベルトの `有限の立場' を少し緩め，ある順序数までの超限帰納法を認めることにより，自然数論の無矛盾性の証明に成功した．さらに竹内外史はより大きな順序数を記述する方法を開発し，ゲンツェンの方法を拡張することによって実数論の部分体系の無矛盾性の証明を与え，ヒルベルトの第2問題に対する証明論をつぎの段階に進めることに成功した．

>>300
>他方，ゲンツェンは1936年にヒルベルトの `有限の立場' を少し緩め，

自爆、乙

ってか、結局選択公理まで持ち出さないといけない羽目に陥ってるのに「少し緩め」どころじゃねーwwwww

>>320

自爆も何も、これが正当な数学史。
数学を知らない奴だな。

>>323
>自爆も何も、これが正当な数学史。

それ、ゲンツェンの勘違いを信じて人生を無駄にしちゃった連中がそう主張してるだけの数学史、ってか数学黒歴史
なんだけど、素人が適当にググっただけじゃあそこまでわからんわな

>数学を知らない奴だな。

うんうん、選択公理を使っても有限の立場だよな、お前の中ではなー

>>334

お前馬鹿だろう。誰も有限の立場なんてこだわって居ない。
不完全性定理を忘れたわけではあるまいし。

>>343
自然数の数列で正の向きとして向き付けを考えると向きつけ可能となる。
宇宙の有限性の話も同様のものでできるね。ヒルベルトの我々は知らねばならない、我々は知るだろう、これは時間的正の時間ということになるけども。
つまり、ゲーテルの不完全性定理の2のタルスキの定理の部分、リシャールのパラドックスの回避として概念を論理式によって表現できかつ、循環論法に陥らない(つまり向き付け可能となる)のなら
ミュンヒハウゼンのトリレンマの根拠の根拠の根拠のとなるとき回避法としての数学的立場の公理の採用、ここの受容になるのだろうか。
でも、それは従来公理を排するものでなく両立し説明しえ、かつ、解決困難な課題に解答を与えるものであるのならばそれは有用であり採用すべきものである、と。

と、Wikipediaで読んだわ。

>>343

お前、本当に数学を知らないで言っているのな。
何の知らないで、知った顔するなよ、馬鹿。

ヒルベルトの第２問題 - 有限の立場　→　不完全性定理　→　自然数論の無矛盾性

こういう流れだ。有限の立場では、自然数論の無矛盾性を不完全性定理により証明できないことがはっきりしているので、ゲンツェンは有限の立場ではなく、有限の立場を”少し緩める形で”自然数論の無矛盾性を証明した、そういうことだ、アホ。
日本語も分からないのか、キチガイが。

>>349

だからさ、当初のヒルベルトの言う有限の立場で自然数論の無矛盾性をどう証明するんだ？
不完全性定理があるんだぜ。

お前、全然数学のことを知らないで、何知ったかしているんだ？ど素人だろ。

>>334
リーマン球体とかの可換環論かな。5ちゃんねるとWikipediaで見たわ。
2次元の原点と無原点を3次元球体として表現すると1直線上の軸に並ぶ。
射影幾何はその軸を2次元射影として捉えなおすという、つまり、2次元宇宙から3次元宇宙に飛ばし、また2次元宇宙に戻し表現することで、
単純なXY軸の原点と無限値が1点として表現しなおすことができると。

似たような話がどこかにあったかな？>同一視のせいで向き付け不可能になんだわ
有限and無限で無矛盾の話だろうか？

>>>300
>>他方，ゲンツェンは1936年にヒルベルトの `有限の立場' を少し緩め，
>自爆、乙

と、お前がこだわってるのに、何度自爆したら気が済むんだ？

>>258
>wikiより
>自然数論の無矛盾性については、1934年にゲルハルト・ゲンツェンによって、証明の正規化（カット除去定理）を
>用いることによって示されたとされた。しかしこの方法では、証明の正規化手続きの終了性がε0までの超限帰
>納法によってなされている。

で、wikiの続きが、

この証明方法の正しさは、ヒルベルトのような「有限の立場」に立っていると主張する研究者が、手続きが実行可
能である点をその根拠としている

なわけで、ゲンツェンが「有限の立場」を放棄してるなんて言ってるのは、数学を知らないお前だけ

>>234

物理の場合は、無矛盾が保証されている数学で現象を記述できれば、後はその数式を解き、その解の物理的な解釈を行うが、これは現象を記述する数学が正しいという前提での話。
既に正しいことが証明されている数学を使っているので、物理は物理現象を数学で記述し、また逆に数学で記述したものを物理現象に翻訳できれば、後は実際の観察との一致だけだが、数学は数学そのものを研究対象にしているので、数学で記述する論理が正しいのか＝無矛盾なのか、をまず検証しなくてはいけない。既存の数学は、無矛盾である論理から理論が組み立てられているので問題ないが、望月氏のIUTは、使用されている論理そのものに疑問があるので、ここから検証しないといけない。

>>235
別の宇宙の法則だと簡単に解ける問題があって、我々の宇宙と別の宇宙の橋渡しが出来れば我々の宇宙でも使えるってのがIUTの肝なんでは？

何に使えるかなんて実用性第一で数学が発展した訳でも無し、それをどう使うかは後世の人間の仕事。

>>248
ライラの冒険っぽい

並行世界あるある

>>255 >>256

基礎論がしっかりできる前は、論理そのものに疑いが入って、今に至っている。

＞　公理系をその都度適切に選べば数学が「無矛盾」になるのは当たり前

その「当たり前」は、公理系を作って証明しているから言えること。
望月氏のIUTは、その「当たり前」が適用できるのかすら疑問ということ。
その「当たり前」をせめて当たり前と思わせてくれるまで示してくれないと、素直に頷けるものではないということ。

>>257
>基礎論がしっかりできる前は、論理そのものに疑いが入って、今に至っている

全然疑いなんか入ってない。もう一度言うけどヒルベルト達がやろうとしたのがあくまで
或る固定された公理系の中から全てを形式的に導き出そうという計画。
しかしその都度適切な公理系を作るという「当たり前」の作業を受け入れれば
何も疑いの余地なんか発生しない。

無矛盾の話はいい加減スレチだから

>その「当たり前」は、公理系を作って証明しているから言えること。

その「言えること」と基礎論は全然関係ない
「言えること」とは即ち証明をする事に他ならないし
証明をする事と基礎論は関係ない

>>278

パラドックスを提起され、疑われた。結果としてカントールの言う集合論は訂正され、公理系から構築された。

簡単に公理系を当たり前のように言うが、そういう認識は違うのじゃないか？

>>278

お前、数学基礎論を知らないで言っているだろ？
いい加減なことをほざくなよ。

>>293
>お前、数学基礎論を知らないで言っているだろ？

お前がなー

>>303

数学はそんなガキ臭いものではないよ。

>>305

そうか。ごめん。言い過ぎた。

>>307

自然数論の無矛盾性の証明に選択公理を認めるのは、別に不自然ではないと思うが。
＞ゲンツェンは、超（メタ）数学の側が無矛盾であると仮定すれば、その中で記述される（通常の）数学が無矛盾になるといった
そんなことは言っていないだろ？　それとも選択公理が超（メタ）数学だとでも？
実際に数学で選択公理を認めずに何ができる？という素朴な質問に対してどう答える？
選択公理を使わずに数学が構築できるか、という問いに対しては、とてもできるとは思え得ないというのが僕の答えだ。

>>313
>そんなことは言っていないだろ？　それとも選択公理が超（メタ）数学だとでも？

だめだ、こりゃ

>>307

もちろん、選択公理なしで構築した公理系での論理あるいは数学というのは意味がある。
背理法を否定して構築した論理あるいは数学があると同様に。

だが、実際に今工学、物理、化学など、ありとあらゆるところで使われている数学は、選択公理を認めている。
現実として使われている数学、というものも我々は認めなければならないし、その中での論理で証明することに現実の意味があると思う。

>>307
>ゲンツェンは、超（メタ）数学の側が無矛盾であると仮定すれば、

そのメタ数学は自然数論を含むので、自然数論が無矛盾と仮定してるってこったぞ

ただの黒歴史

>>321 >>322

お前、数学を知らないで、適当なことを喚いているだけだろ。
まともなことは発言していないものな。スルーだな。

>>333

選択公理は美しいかどうかは分からんが、強い公理であることは認める。
で、実際選択公理なしで何ができる？
物理や工学の連中の言う「数学」は全滅だぞ。

>>342

選択公理を使う時は、ツォルンの補題の形で使うことが多いこともあるしね。
実際、実数のように可算濃度以外の集合を扱う時は、選択公理なしでは手も足もでない。

>>336
>平面上の２直線は必ず交点を持つ、ただし平行二直線の場合は交点は無限遠点とする。

無限遠点を認める場合は、交点は2点となるわけだよね。その交点と交点の範囲内において、線は無限の長さとならず無限遠点の範囲で有限な長さとなる。
ABC予想の整数を有限に限定する試みはそういうものだと考えるわけ？

>>337
>無限遠点を認める場合は、交点は2点となるわけだよね。

お前、見どころあるな

それが球面幾何、もちろん、無限とか持ち出すまでもなく球面でコンパクトに表現できる

球面の反対側の2点を同一視して1点としたのが射影幾何で、もちろん球面でそのまま表現できるんで無限とか
いらないが、同一視のせいで向き付け不可能になんだわ

>>336
>平面上の２直線は必ず交点を持つ、ただし平行二直線の場合は交点は無限遠点とする。
>これにより、普通のユークリッド幾何の平行線公理を除いてしまったのが射影幾何。

お、馬鹿だ